Racines carrées

Rappel

\[ \sqrt{x} = y \iff y^2 = x (\land x \geq 0)\\ ex: \sqrt{4} = 2 \]

Remarques

Si \(x < 0\), alors \(\sqrt{x}\) n'éxiste pas.
\(dom(\sqrt{}) = \{x \in \mathbb{R} \vert \sqrt{x} \text{ existe}\} \subseteq [0, +\infty[\)

Visuellement

Si \(a \geq 0\)
- \(\sqrt{x} \leq a \iff 0 \leq x \leq a^2\)
Si \(a < 0\)
- \(\sqrt{x} \leq a\) n'est satisfaite pour aucuns \(x \in [0, +\infty[\)

Algébriquement

Si \(a \geq 0\)
- \(\sqrt{x} \leq a \implies f(\sqrt{x}) \leq f(a)\)
Si \(a < 0\)
- \(\sqrt{x} \leq a\) n'est satisfaite pour aucuns \(x \in [0, +\infty[\)

Défintions

On dit qu'une fonction est croisante ssi \[ \forall a, b \in dom(f) \quad a\leq b \implies f(a) \leq f(b) \]
On dit qu'une fonction est décroisante \[ \forall a, b \in dom(f) \quad a\leq b \implies f(a) \geq f(b) \]

Ces définitions peuvent être restraintes sur un autre ensemble plus petit que \(dom(f)\).
On dit que \(f \nearrow\) (est croissant) sur \(A \subseteq dom(f) \iff \forall a, b \in A \quad a \leq b \implies f(a) \leq f(b)\)
Pareil pour la décroissance (\(\searrow\))

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