2.2 KiB
Les Droites
Intro
Considerons le vecteur \((x,y)\)
Recherchons quelques vecteurs colinéaires à \((x,y)\) \[ \lambda(2,3) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R} \]
L'ensemble de ces vecteurs colinéaire à \((x,y)\) est la droite \(D\) passant par \((0,0)\) et dont la direction est donnée par le vecteur \((x,y)\)
Définitions
-
l'équation paramétrique de \(D\): une égalitée qui sera satisfaite par tout point \[ D \equiv (x,y) = \lambda (2,3) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R} \]
\(\lambda\) prend toutes les valeurs réelles. à chauqes fois qu'on donne une valeur à \(\lambda\) on à un point de la droite
-
l'équation cartésienne de la droite \(D\): \[ ax + by = c \] On dit que \((a, b)\) est un vecteur Normal de la droite
Transformation
- ep to ec:
\(D_1 \equiv (x,y) = (-1, 1) + \lambda(2,3) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}\)
- Eliminer les paramètres: \[ \begin{align*} &\begin{cases} x &= -1+2\lambda \\ y &= 1 + 3\lambda \end{cases}\\ &\begin{cases} \frac{x+1}{2} = \lambda \\ \frac{y-1}{3} = \lambda \\ \end{cases} \end{align*} \]
- lier et simplifier la fonction
\[
\begin{align*}
\frac{x+1}{2} &= \frac{y-1}{3}\\
3x + 3 &= 2y -2 \\
-3x +2y &= 5 \\
y &= \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}
\end{align*}
\]
- On a donc une équation de la forme \(y = mx + p\) où \(m\) est la pente de la droite et \(p\) est l'ordonée à l'origine1
- Transformation en Equation cartésienne de la forme \( ax + by = c \)
-
ec to ep:
Un vecteur directeur de la droite \(D\) peut être \((1, m)\) Nous pouvons prendre un point de la droite avec p car (0,p) fait partie de la droite
-
Il y a plusieurs facon d'obtenir m:
- \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
- \(m = \frac{-a}{b}\)
-
Une facon d'obtenir p:
- \(p = \frac{c}{b}\)
Donc \[ D \equiv (x, y) = (0, p) + \lambda(1, m) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R} \]
-
-
Problème. Nous pouvons représenter une droite horizontale sous la forme : \(y = p\) Mais nous ne pouvons pas tracer de droite verticale. ↩︎