2022-11-11 17:30:23 +01:00
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# Suite numérique et leurs convergences
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Une **Suite** est une collection de nombres **Infinie** et **Ordonée** de nombres réels.
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- **Infinie**: Ne s'arrete pas
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- **Ordonée**: La place des nombres dans la suite est importante
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Nous cherchons à savoir quelle est la valeur de l'élément situé à une position donnée
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## Exemples
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- 0,1,2,3,4,5,6,...
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- \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = n\\)
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- 0,1,4,9,16,25,...
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- \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = n^2\\)
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- 4,4,4,4,4,4,4,...
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- \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = 4\\)
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- 1, \\(\frac{1}{2}\\), \\(\frac{1}{3}\\), \\(\frac{1}{4}\\), \\(\frac{1}{5}\\), ...
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- \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = \frac{1}{n}\\)
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- 1,-1,1,-1,1,-1, ...
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- \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = (-1)^n \\)
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- \\(\forall n \in \mathbb{N}, X_n = \begin{cases} 1 &\implies n \in 2\mathbb{N}\\\\ -1 &\implies n \in 2\mathbb{N}+1 \end{cases} \\)
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## Fonctions
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On parle alors de fonction pour définir une suite:
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\\[
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n \mapsto x_n
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\\]
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où n est l'indice (\\(\in\mathbb{N}\\)) et \\(x_n\\) est l'élément (\\(\in\mathbb{R}\\))
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### Rappel
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Une [fonction](../logique/fonctions.md) est une relation qui à chaques éléments de A fait corespondre **au plus, un** élément de B
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\\[
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f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x\mapsto y = x^2
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\\]
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**Atention, A n'est pas forcément le domaine** mais \\(f \subseteq A\\) Toujours
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### Le domaine d'une suite
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Pour trouver le domaine d'une suite, Nous pouvons chercher ses conditions d'éxistences.
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Si ces conditions permettent une suite **infinie** On cherche la valeur ordonnée de départ et le domaine est noté comme suit
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- Une **suite** est une fonction tel que
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- \\(I \to \mathbb{R}: n \mapsto x_n \text{ où } I = \mathbb{N}^{\geq k} \text{ où } k\in \mathbb{N}\\)
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## Notation
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le terme générale d'une suite est noté
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\\[
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\Large{(x_n)_{n \in \mathbb{N}^{\geq k}} \subseteq \mathbb{R}}
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\\]
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Il n'est pas toujours possible de trouver une formule pour une suite (i.e.: suite de nombre premiers)
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On peut aussi définir une suite par récurence.
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\\[
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(x_n) _{n \in \mathbb{N}} \quad \begin{cases} &x_0=3 \\\\ &\forall n \in\mathbb{N}\quad x _{n+1}= x_n + 4 \end{cases}
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\\]
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2022-11-15 22:38:44 +01:00
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C'est une suite arithmétique de raison 4 (Pour passer à l'élément suivant on ajoute 4)
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- Une **suite arithmétique** \\((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\\) est définie par:
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- \\(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = x_n + r \end{cases}\\)
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- r est la raison
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\\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 + n * r \\]
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- Une **suite géométrique** \\((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\\) est définie par:
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- \\(\begin{cases} x_0 \in \mathbb{R} \\\\ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_{n + 1} = qx_n \end{cases}\\)
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- r est la raison
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\\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad x_n = x_0 * q^n \\]
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